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「モンティ・ホール問題」とは、確率論における問題の一つであり、「事後確率」という概念を説明する時などに用いられる例題の一つともされている。また「直感的に正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」という、確率論におけるパラドックスの例として挙げられることもある。
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「モンティ・ホール問題」の詳細

「モンティ・ホール問題」には、複数の派生型が存在するが、下記はその原型とされる問題である。

【ルール】
  1. ドアが3枚ある
  2. その中に「アタリ」が1枚、「ハズレ」が2枚ある
  3. プレイヤーは、ドアを1つ選ぶ
  4. プレイヤーが選ばなかったドアの内、1枚を司会者が開ける
  5. 開けられたドアは、必ず「ハズレ」である
  6. プレイヤーは「ドアを選び直す権利」と、「ドアを選び直さない権利」を持っている
【問題】

この時、プレイヤーは「ドアを選び直すべき」か、または「ドアを選び直さないべき」か?

この問題が生まれた経緯

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1963年からアメリカで放送されている、人気テレビ番組「Let's make a deal(さあ、取り引きをしよう)」の中で、司会者「モンティ・ホール」が、ゲストの出演者に対して行っていたゲームがこの問題の元になっている。

その後、1990年9月9日に発行された雑誌「Parade」において、「人類史上最もIQの高い人物」としてギネスブックにも認定されているコラムニスト「マリリン・ボス・サバント」が、読者からの投稿で寄せられたこの問題に対し、「正解は、『ドアを選び直すべき』である。何故なら、ドアを選び直した場合には、『アタリ』を引く確率が2倍になるからだ」と答えた。

しかし、読者から「彼女の解答は、本当は間違っているのではないか」という内容の投書が、約1万通も殺到したことにより、この問題は世間に知れ渡ることになった。

「モンティ・ホール問題」の解答・解説

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「モンティ・ホール問題」において、「ドアを選び直す場合」と「ドアを選び直さない場合」の「アタリ」を引く確率は、それぞれ下記の通りとなる。
  • ドアを選び直す場合:66%
  • ドアを選び直さない場合:33%
これは、後にコンピューターによるシミュレーション結果によって、その正当性が証明されている。しかし、大抵の人は直感的に「ドアが2つに残った時点で、どちらを選んでも、『アタリ』を引く確率は50%である」という結論に至ることが多い。

これは、ドアが2つになった時点で、改めてコイントスによって決め直すと仮定した場合、「アタリ」を引く確率は50%となるのだが、実際にはルール(3)~(5)を経た時点で、残った2枚のドアの価値は等しくないため、選択者がドアを選び直すことによって、確率の高い選択をすることが可能となっている。つまり、「どちらのドアを選んでも、『アタリ』を引く確率は変わらない」という答えは誤りである。

また直感的にこの問題を理解する方法としては、ドアの枚数を3枚ではなく、100枚だと仮定する方法などが挙げられる。

【ルール】
  1. ドアが100枚ある
  2. その中に「アタリ」が1枚、「ハズレ」が99枚ある
  3. プレイヤーは、ドアを1つ選ぶ
  4. プレイヤーが選ばなかったドアの内、98枚を司会者が開ける
  5. 開けられた98枚のドアは、必ず「ハズレ」であり、残ったドアは2枚である
  6. プレイヤーは「ドアを選び直す権利」と、「ドアを選び直さない権利」を持っている
この場合、最初にプレイヤーが選んだ1枚のドアと、「正解を知っている司会者が開こうとしなかった、残り99枚の内、ただ1枚のドア」の確率が相違していることは、直感的に理解しやすい。

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管理人から一言

はい、自分も間違えました…。